Главная · Электродвигатели · Магнитная индукция проводника с током. Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током, –

Магнитная индукция проводника с током. Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током, –

Форма и характеристика магнитного поля определяются конфигурацией проводника и геометрией эксперимента.

Чтобы визуализировать магнитное поле, можно использовать набор магнитных стрелок или (что более эффективно) ферромагнитные опилки. Опилки ферромагнетика во внешнем магнитном поле намагничиваются и ведут себя как маленькие магнитные стрелочки, сориентированные по направлению .

Согласно теории силовых линий Фарадея вектор индукции в каждой точке силовой линии касателен к ней. Следовательно, и опилки будут располагаться по касательной к силовым линиям.


Рис. 2.2


1. Силовые линии магнитного поля прямого проводника с током представляют собой систему концентрических окружностей, центры которых лежат на проводнике (рис. 2.2). Численное значение в случае бесконечно длинного и тонкого проводника равно .



Рис. 2.3


2. Магнитное поле кругового витка с током вблизи проводника имеет вид тора, осью которого является виток с током. В центре витка вектор индукции равен , где R - радиус витка. Из рис. 2.3 видно, что внутри витка вектор направлен от нас за чертеж. Виток с током можно рассматривать как аналог маленькой магнитной стрелки.

3. Магнитное поле катушки с током имеет сложный вид. Но если длина катушки много больше ее радиуса, а витки намотаны вплотную (такую катушку называют соленоид), то магнитное поле в центре катушки на ее оси рассчитывается как , где n - число витков на единицу длины соленоида. Поле внутри соленоида близко к однородному полю. И вновь, как и в случае с витком, силовые линии магнитного поля входят в один торец катушки и выходят из другого. Таким образом, соленоид с током также является аналогом магнитной стрелки.

Формально для витка и соленоида с током можно ввести величину, равную произведению силы тока на площадь витка. Такое произведение называют магнитным моментом витка с током.

Проводникам можно придать такую форму, при которой более отчетливо выяснится характер воздействия магнитного поля на отдельные участки цепи, по которой течет ток. Воспользуемся магнитным полем подковообразного магнита или электромагнита, а цепь с током составим так, чтобы только один прямолинейный участок ее оказался в сильном поле, остальные же участки цепи проходили по тем частям пространства, где напряженность поля чрезвычайно мала и действием поля на эти участки цепи можно вполне пренебречь (рис. 233). Практически лишь прямолинейный участок цепи ab находится под действием значительного поля, так что наблюдаемые силы являются силами, с которыми магнитное поле действует на прямолинейный ток. Изменяя направление тока в проводнике ab (например, с помощью переключателя)

Рис. 233. Действие магнитного поля на прямолинейный проводник с током. Сила F выталкивает проводник с током ab
а изменяя направление магнитного поля (например, поворачивая магнит), можно исследовать направление действующей силы (рис. 234). Эти опыты показывают, что проводник ab отклоняется вправо или влево (рис. 233) или стремится переместиться вверх или вниз (рис. 234, а и б). Наконец, оказывается, что полене действует на проводник, когда ток в нем течет параллельно направлению поля (рис. 234, в). Выполняя разнообразные опыты такого рода, можно сделать следующий общий вывод.

Направление силы F, с которой магнитное поле действует на прямолинейный проводник с током I, всегда перпендикулярно к проводнику и к направлению магнитной индукции В. На проводники, расположенные вдоль направления линий магнитного поля, поле не действует.

При этом ток I, индукция В и сила F направлены так, как показано на рис. 235. Для запоминания этого взаимного расположения удобно пользоваться правилом левой руки (рис. 236). Если расположить левую ладонь так, чтобы вытянутые пальцы указывали направление тока, а линии магнитного поля впивались в ладонь, то отставленный большой палец укажет направление силы, действующей на проводник.

Рис. 234. При перемене направления тока изменяется направление силы F: проводник с током, который выталкивался из магнитного ноля (а), начинает втягиваться в него (б). Если направление тока параллельно линиям магнитного поля, то оно не действует на проводник с током (в)
Если направление магнитной индукции В составляет некоторый угол с направлением тока I, то для определения силы действия поля на ток надо разложить магнитную индукцию В на две составляющие: B║, параллельную току,

Рис. 235. Различные случаи взаимного расположения направлений Магнитной индукции В и тока I: F - сила, действующая на проводник с током
и B^, перпендикулярную к нему (рис. 237). Лишь эта последняя и обусловливает силу действия поля, и по отношению к ней надо применять правило левой руки.

Если выполнять измерение модуля силы F, пользуясь показаниями весов или динамометра (рис. 234, а и б), то можно установить, что эта сила пропорциональна силе тока, магнитной индукции и длине проводника аb. Это соотношение носит название закона Ампера. Конечно, подобными опытами оно может быть проверено лишь очень грубо.

Однако, пользуясь им для расчета сил, действующих на сложные проводники в самых разнообразных случаях, и сравни-

Рис. 236. Правило левой руки

Рис. 237. Разложение магнитной индукции В на две составляющие: B║ , параллельную току, и В^, перпендикулярную к нему
вая результаты расчета с опытом, можно убедиться в справедливости этого закона.

Если магнитная индукция равна В, сила тока равна I, длина прямолинейного проводника с током равна l и угол между вектором В и проводником с током I равен j, то закон Ампера выразится в виде соотношения
(133.1)
Из формулы (133.1) следует, что когда проводник параллелен индукции В (т. е. j=0), то F=0, т. е. на проводники, параллельные направлению поля, поле не действует, как это и вытекает из опытов, описанных в этом параграфе (рис. 234, в).

Мы уже говорили о том, что два параллельных прямолинейных проводника притягиваются друг к друг, если по ним проходят одинаково направленные токи, и отталкиваются, если токи направлены навстречу друг другу (§ 115). Это нетрудно объяснить, если учесть, что каждый проводник находится в магнитном поле, создаваемом током в другом проводнике, и воспользоваться правилами буравчика и левой руки.

Что касается силы притяжения (или отталкивания), то она пропорциональна произведению сил токов I1 и I2 в первом и втором проводниках и длине проводников l и обратно пропорциональна расстоянию между проводниками r:
(133.2)
где m0 - магнитная постоянная (см. формулу (126.2)). Получается это потому, что индукция магнитного поля B1 тока I1 на расстоянии r от первого проводника пропорциональна I1/r, а сила, действующая на второй проводник (длины l), в соответствии с формулой (133.1), пропорциональна B1I2l. Угол j в данном случае прямой, т. е. sinj=1. Легко понять, что такая же по модулю сила действует на первый проводник в магнитном поле тока I2.

Для сравнения сил токов и установления единицы силы тока можно, вообще говоря, воспользоваться любым из различных действий (проявлений) электрического тока - тепловым (§ 57), химическим (§ 65) или магнитным (гл. XII).

В СИ единица силы тока ампер (одна из основных единиц в этой системе) определяется при помощи сил взаимодействия между проводниками, по которым текут токи. Для определения используется именно формула (133.2), выражающая силу взаимодействия двух параллельных токов: один ампер есть сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии одного метра один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2 10-7 ньютона на каждый метр длины.

Практически трудно с достаточной точностью обеспечить условия применимости формулы (133.2) и измерять в этих условиях силу F. Поэтому на практике для установления эталона ампера и для калибровки других приборов, предназначенных для измерения силы тока, пользуются другим прибором - так называемыми ампер-весами. В них при помощи точных весов измеряется сила взаимодействия двух катушек, по которым проходит один и тот же ток. Для этих условий тоже можно вывести точную формулу, которая, подобно формуле (133.2), связывает силу притяжения катушек с силой тока в них.

133.1. Проводник ab укреплен на острие так, что он может свободно вращаться вокруг оси О (рис. 238). Концы проводника загнуты и погружены в кольцеобразные желобки с ртутью, соединенные с полюсами батареи. Таким образом, через проводник постоянно проходит ток в направлении стрелки I1, В горизонтальной плоскости находится проводник cd, по которому идет ток в направлении стрелки I2. Как установится проводник ab под действием магнитного поля, создаваемого током в проводнике cd?
133.2. Как направлена сила, с которой магнитное поле Земли действует в северном полушарии на горизонтальный проводник с

Рис. 238. К упражнению 133.1
током, если этот проводник: а) расположен в плоскости магнитного меридиана и ток идет с севера на юг; б) если проводник перпендикулярен к плоскости магнитного меридиана и ток идет с запада на восток?

где r – расстояние от оси проводника до точки.

Согласно предположению Ампера в любом теле существуют микроскопи­ческие токи (микротоки), обусловленные движением электронов в атомах. Они создают свое магнитное поле и ориентируются в магнитных полях макротоков. Макроток - это ток в проводнике под действием ЭДС или разности потенциа­лов. Вектор магнитной индукции характеризует результирующее магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками. Магнитное поле макротоков описывается также и вектором напряженности. В случае однородной изо­тропной среды вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности соотношением


(5)

где μ 0 - магнитная постоянная; μ- магнитная проницаемость среды, показы­вающая, во сколько раз магнитное поле макротоков усиливается или ослабляет­ся за счет микротоков среды. Иначе говоря, μ показывает, во сколько раз век­тор индукции магнитного поля в среде больше или меньше, чем в вакууме.

Единица напряженности магнитного поля - А/м. 1А/м - напряженность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна

Тл. Земля пред­ставляет собой огромный шарообразный магнит. Действие магнитного поля Земли обнаруживается на ее поверхности и в окружающем пространстве.

Магнитным полюсом Земли называют ту точку на ее поверхности, в кото­рой свободно подвешенная магнитная стрелка располагается вертикально. По­ложения магнитных полюсов подвержены постоянным изменениям, что обусловлено внутренним строением нашей планеты. Поэтому магнитные полюса не совпадают с географическими. Южный полюс магнитного поля Земли рас­положен у северных берегов Америки, а Северный полюс - в Антарктиде. Схе­ма силовых линий магнитного поля Земли показана на рис. 5 (пунктиром обо­значена ось вращения Земли): - горизонтальная составляющая индукции магнитного поля; N r , S r - географические полюсы Земли; N, S - магнитные по­люсы Земли.

Направление силовых линий магнитного поля Земли определяется с по­мощью магнитной стрелки. Если свободно подвесить магнитную стрелку, то она установится по направлению касательной к силовой линии. Так как маг­нитные полюсы находятся внутри Земли,магнитная стрелка устанавливается не горизонтально, а под некоторым углом α к плоскости горизонта. Этот угол α называют магнитным наклонением. С приближением к магнитному полюсу угол α увеличивается. Вертикальная плоскость, в которой расположена стрелка, называется плоскостью магнитного меридиана, а угол между магнитным игеографическим меридианами - магнитным склонением. Силовой характеристикой магнитного поля, как уже отмечалось, является магнитная индукция В. Ее значение невелико и изменяется от 0,42∙10 -4 Тл на экваторе до 0,7∙10 -4 Тл у магнитных полюсов.

Вектор индукции магнитного поля Земли можно разделить на две состав­ляющие: горизонтальную и вертикальную

(рис. 5). Укрепленная навертикальной оси магнитная стрелка устанавливается в направлении горизон­тальной составляющей Земли . Магнитное склонение, наклонение α и горизонтальная составляющая магнитного поля являются основными пара­метрами магнитного поля Земли.

Значение определяют магнитометрическим методом, который основан на взаимодействии магнитного поля катушки с магнитной стрелкой. Прибор, называемый тангенс-буссолью, представляет собой небольшую буссоль (ком­пас с лимбом, разделенным на градусы), укрепленную внутри катушки 1 из не­скольких витков изолированной проволоки.

Катушка расположена в вертикальной плоскости. Она создает добавочное магнитное поле к (диаметр катушки и число витков указываются на приборе).

В центре катушки помещается магнитная стрелка 2. Она должна быть не­большой, чтобы можно было принимать индукцию, действующую на ее полю­сы, равной индукции в центре кругового тока. Плоскость контура катушки ус­танавливается так, чтобы она совпадала с направлением стрелки и была пер­пендикулярна горизонтальной составляющей земного поля r . Под действием r индукции поля Земли и индукции поля катушки стрелка устанавливается по направлению равнодействующей индукции р (рис. 6 а, б).


Из рис. 6 видно, что


(6)

Индукция магнитного поля катушки в центре –


7)

где N - число витков катушки; I - ток, идущий по ней; R - радиус катушки. Из (6) и (7) следует, что



(8)

Важно понять, что формула (8) является приближенной, т.е. она верна только в том случае, когда размер магнитной стрелки намного меньше радиуса контура R. Минимальная ошибка при измерении фиксируется при угле откло­нения стрелки ≈45°. Соответственно этому и подбирается сила тока в катушке тангенс-буссоли.

Порядок выполнения работы

    Установить катушку тангенс-буссоли так, чтобы ее плоскость совпала с на­ правлением магнитной стрелки.

    Собрать цепь по схеме (рис. 7).


3. Включить ток и измерить углы отклонения у концов стрелки

и

. Данные занести в таблицу. Затем с помощью переключателя П изменить направление тока на противоположное, не меняя величины силы тока, и измерить углы отклонения у обоих концов стрелки

и

вновь. Данные занести в таблицу. Таким образом, устраняется ошибка определения угла, связанная с несовпадением плоскости катушки тангенс-буссоли с плоскостью магнитно­го меридиана. Вычислить


Результаты измерений I и занести в таблицу 1.

Таблица 1






    Вычислить В ср. по формуле


где n - число измерений.

    Найти доверительную границу общей погрешности по формуле


,

Где

- коэффициент Стьюдента (при=0,95 иn=5

=2,8).

    Результаты записать в виде выражения


.

Контрольные вопросы

    Что называется индукцией магнитного поля? Какова единица ее измерения? Как определяется направление вектора магнитной индукции?

    Что называется напряженностью магнитного поля? Какова ее связь с магнитной индукцией?

    Сформулировать закон Био-Савара-Лапласа, вычислить на его основе ин­дукцию магнитного поля в центре кругового тока, индукцию поля прямого тока и соленоида.

    Как определяется направление индукции магнитного поля прямого и круго­вого токов?

    В чем заключается принцип суперпозиции магнитных полей?

    Какое поле называют вихревым?

    Сформулируйте закон Ампера.

    Расскажите об основных параметрах магнитного поля Земли.

    Каким образом можно определить направление силовых линий магнитного поля Земли?

    Почему измерение горизонтальной составляющей индукции магнитного по­ ля выгоднее проводить при угле отклонения стрелки в 45°?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

Пусть вдоль осиOZ расположен бесконечно длинный проводник, по которому течёт ток с силой . А сила тока это что такое?

,

- заряд, который пересекает поверхностьS за время

. Система обладает осевой симметрией. Если мы введём цилиндрические координатыr ,  , z , то цилиндрическая симметрия означает, что

и, кроме того,

, при смещении вдоль осиOZ , мы видим то же самое. Таков источник. Магнитное поле должно быть таким, чтобы удовлетворялись эти условия

и

. Это означает вот что: силовые линии магнитного поля – окружности, лежащие в плоскости ортогональной проводнику. Это немедленно позволяет найти магнитное поле.

Пусть у нас это проводник.

Вот ортогональная плоскость,

вот окружность радиуса r ,

я возьму тут касательный вектор, вектор, направленный вдоль , касательный вектор к окружности.

Тогда,

,

где

.

В качестве замкнутого контура выбираем окружность радиуса r = const . Пишем тогда , сумма длин по всей окружности (а интеграл это ни что иное, как сумма) – это длина окружности., где – сила тока в проводнике. Справа стоит заряд, который пересекает поверхность за единицу времени. Отсюда мораль:

. Значит, прямой проводник создаёт магнитное поле с силовыми линиями в виде окружностей, охватывающих проводник, и эта величинаВ убывает как при удалении от проводника, ну, и стремится к бесконечности, если мы приближаемся к проводнику, когда контур уходит внутрь проводника.

Этот результат только для случая, когда контур охватывает ток. Понятно, что бесконечный проводник нереализуем. Длина проводника, – наблюдаемая величина, и никакие наблюдаемые величины не могут принимать бесконечных значений, не такой линейки, которая позволила бы измерить бесконечную длину. Это нереализуемая вещь, тогда какой толк в этой формуле? Толк простой. Для любого проводника, будет справедливо следующее: достаточно близко к проводнику силовые линии магнитного поля – вот такие замкнутые окружности, охватывающие проводник, и на расстоянии

(R – радиус кривизны проводника), будет справедлива эта формула.

Магнитное поле, создаваемое произвольным проводником с током.

Закон Био-Савара.

Пусть мы имеем произвольный проводник с током, и нас интересует магнитное поле, создаваемое куском этого проводника в данной точке. Как, кстати, в электростатике находили мы электрическое поле, создаваемое каким-то распределением заряда? Распределение разбивали на малые элементы и вычисляли в каждой точке поле от каждого элемента (по закону Кулона) и суммировали. Такая же программа и здесь. Структура магнитного поля сложнее, чем электростатическое, кстати, оно не потенциально, замкнутое магнитное поле нельзя представить как градиент скалярной функции, у него другая структура, но идея та же самая. Разбиваем проводник на малые элементы. Вот я взял маленький элемент

, положение этого элемента определяется радиус-вектором, а точка наблюдения задаётся радиус-вектором. Утверждается, что этот элемент проводника создаст в этой точке индукциюпо такому рецепту:

. Откуда берётся этот рецепт? Его нашли в своё время экспериментально, трудно мне, кстати, представить, как это можно было экспериментально найти такую достаточно сложную формулу с векторным произведением. На самом деле это следствие четвёртого уравнения Максвелла

. Тогда поле, создаваемое всем проводником:

, или, мы можем написать теперь интеграл:

. Понятно, что вычислять такой интеграл для произвольного проводника занятие не очень приятное, но в виде суммы это нормальная задача для компьютера.

Пример. Магнитное поле кругового витка с током.

Пусть в плоскостиYZ располагается проволочный виток радиуса R, по которому течёт ток силы . Нас интересует магнитное поле, которое создаёт ток. Силовые линии вблизи витка такие:

Общая картина силовых линий тоже просматривается (рис.7.10 ).







По идее, нас интересовало бы поле

, но в элементарных функциях указать поле этого витка нельзя. Найти можно только на оси симметрии. Мы ищем поле в точках (х ,0,0).

Направление вектора определяется векторным произведением

. Векторимеет две составляющие:

и. Когда мы начнём суммировать эти вектора, то все перпендикулярные составляющие в сумме дадут ноль.

. А теперь пишем:

,

=, а

.

, и, наконец 1) ,

.

Мы добыли такой результат:


А теперь, в качестве проверки, поле в центре витка равна:

.

Поле длинного соленоида.

Соленоидом называется катушка, на которую намотан проводник.

Магнитное поле от витков складывается, и не трудно догадаться, что структура силовых линий поля такая: они внутри идут густо, а дальше разреженно. То есть для длинного соленоида снаружи будем считать=0, а внутри соленоида=const . Внутри длинного соленоида, ну, в окрестности. Скажем, его середины, магнитное поле практически однородно, а вне соленоида это поле мало. Тогда мы можем найти это магнитное поле внутри следующим образом: вот я беру такой контур (рис.7.13 ), а теперь пишем:

1)





.


- это полный заряд. Эту поверхность протыкают витки

(полный заряд)=

(число витков, протыкающих эту поверхность).

Мы получим такое равенство из нашего закона:

, или


.

Поле на большом расстоянии от ограниченного распределения тока.

Магнитный момент

Имеется в виду, что в ограниченной области пространства текут токи, тогда есть простой рецепт для нахождения магнитного поля, которое создаёт это ограниченное распределение. Ну, кстати, под это понятие ограниченное пространство подпадает любой источник, поэтому тут никакого сужения нет.

Если характерный размер системы , то

. Напомню, что мы решали аналогичную проблему для электрического поля, создаваемого ограниченным распределением заряда, и там появилось понятие дипольного момента, и моментов более высокого порядка. Решать эту задачу я здесь не буду.

По аналогии (как делалось в электростатике) можно показать, что магнитное поле от ограниченного распределения на больших расстояниях подобно электрическому полю диполя. То есть структура этого поля такая:

Распределение характеризуется магнитным моментом .Магнитный момент

, где– плотность тока или, если учесть, что мы имеем дело с движущимися заряженными частицами, то вот эту формулу для сплошно среды мы можем выразить через заряды частиц таким образом:

. Что эта сумма выражает? Повторяю, распределение тока создаётся тем, что движутся эти заряженные частицы. Радиус-векторi -ой частицы векторно умножается на скорость i -ой частицы и всё это умножается на заряд этой i -ой частицы.

Такая конструкция, кстати, у нас в механике была. Если вместо заряда без множителя написать массу частицы, то, что это будет изображать? Момент импульса системы.

Если мы имеем частицы одного сорта (

, например, электроны), то тогда мы можем написать



. Значит, если ток создаётся частицами одного сорта, то магнитный момент связан просто с моментом импульса этой системы частиц.

Магнитное поле , создаваемое этим магнитным моментом равно:


(8.1 )

Магнитный момент витка с током

Пусть у нас имеется виток и по нему течёт ток силы. Вектор отличен от нуля в пределах витка. Возьмём элемент этого витка,

, гдеS – поперечное сечение витка, а – единичный касательный вектор. Тогда магнитный момент определён так:

. А что такое

? Это вектор, направленный вдоль вектора нормали к плоскости витка. А векторное произведение двух векторов – это удвоенная площадь треугольника, построенного на этих векторах. ЕслиdS – площадь треугольника, построенного на векторах и, то

. Тогда мы пишем магнитный момент равняется. Значит,

(магнитный момент витка с током)=(сила тока)(площадь витка)(нормаль к витку) 1) .

А теперь мы формулу (8.1 ) применим для витка с током и сопоставим с тем, что мы добыли в прошлый раз, просто для проверки формулы, поскольку формулу эту я слепил по аналогии.

Пусть мы имеем в начале координат виток произвольной формы, по которому течёт ток силы , тогда поле в точке на расстоянии х равно: (

). Для круглого витка

,

. На прошлой лекции мы находили магнитное поле круглого витка с током, при

эти формулы совпадают.

На больших расстояниях от любого распределения тока магнитное поле находится по формуле (8.1 ), а всё это распределение характеризуется одним вектором, который называется магнитный момент. Кстати, простейший источник магнитного поля это магнитный момент. Для электрического поля простейший источник это монополь, для электрического поля следующий по сложности это электрический диполь, а для магнитного поля всё начинается с этого диполя или магнитного момента. Это, ещё раз обращаю внимание, постольку, поскольку нет этих самых монополей. Был бы монополь, тогда было бы всё также как в электрическом поле. А так у нас простейший источник магнитного поля это магнитный момент, аналог электрического диполя. Наглядный пример магнитного момента – постоянный магнит. Постоянный магнит обладает магнитным моментом, и на большом расстоянии его поле имеет такую структуру:

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле

Мы видели, что на заряженную частицу действует сила, равная

. Ток в проводнике есть результат движения заряженных частиц тела, то есть равномерно размазанного заряда в пространстве нет, заряд локализован в каждой частице. Плотность тока

. Наi -ую частицу действует сила

.

Выберем элемент объёма

и просуммируем силы, действующие на все частицы этого элемента объёма

. Сила, действующая на все частицы в данном элементе объёма, определяется как плотность тока на магнитное поле и на величину элемента объёма. А теперь перепишем её в дифференциальном виде:

, отсюда

– этоплотность силы , сила, действующая на единицу объёма. Тогда мы получим общую формулу для силы:

.

Обычно ток течёт по линейным проводникам, редко мы сталкиваемся с случаями, когда ток размазан как-то по объёму. Хотя, между прочим, Земля имеет магнитное поле, а от чего это поле? Источник поля это магнитный момент, это означает, что Земля обладает магнитным моментом. А это означает, что тот рецепт для магнитного момента показывает, что должны быть какие-то токи внутри Земли, они по необходимости должны быть замкнутыми, потому что не может быть стационарного разомкнутого поля. Откуда эти токи, что их поддерживает? Я не специалист в земном магнетизме. Какое-то время назад определённой модели этих токов ещё не было. Они могли быть там когда-то индуцированы и ещё не успели там затухнуть. На самом деле, ток можно возбудить в проводнике, и потом он быстро сам кончается за счёт поглощения энергии, выделения тепла и прочего. Но, когда мы имеем дело с такими объёмами как Земля, то там время затухания этих токов, однажды каким-то механизмом возбуждённых, это время затухания может быть очень длительным и длиться геологические эпохи. Может быть, так оно и есть. Ну, скажем, мелкий объект типа Луны имеет очень слабое магнитное поле, это означает, что оно затухло там уже, скажем, магнитное поле Марса тоже значительно слабее поля Земли, потому что и марс меньше Земли. Это я к чему? Конечно, есть случаи, когда токи текут в объёмах, но то, что мы здесь на Земле имеем это обычно линейные проводники, поэтому эту формулу сейчас трансформируем применительно к линейному проводнику.

Пусть имеется линейный проводник, ток течёт с силой. Выберем элемент проводника , объём этого элементаdV ,

,

. Сила, действующая на элемент проводника

перпендикулярна плоскости треугольника, построенного на векторахи, то есть направлена перпендикулярно к проводнику, а полная сила находится суммированием. Вот, две формулы решают эту задачу.

Магнитный момент во внешнем поле

Магнитный момент сам создаёт поле, сейчас мы собственное его поле не рассматриваем, а нас интересует, как ведёт себя магнитный момент, помещённый во внешнее магнитное поле. На магнитный момент действует момент силы, равный

. Момент силы будет направлен перпендикулярно к доске, и этот момент будет стремиться развернуть магнитный момент вдоль силовой линии. Почему стрелка компаса показывает на северный полюс? Ей, конечно, нет дела до географического полюса Земли, стрелка компаса ориентируется вдоль силовой линии магнитного поля, которая, в силу случайных причин, кстати, направлена примерно по меридиану. За счёт чего? А на неё действует момент. Когда стрелка, магнитный момент, совпадающий по направлению с самой стрелкой, не совпадает с силовой линией, появляется момент, разворачивающий её вдоль этой линии. Откуда у стрелки компаса берётся магнитный момент, это мы ещё обсудим.

Кроме того, на магнитный момент действует сила, равная

. Если магнитный момент направлен вдоль, то сила втягивает магнитный момент в область с большей индукцией. Эти формулы похожи на то, как действует электрическое поле на дипольный момент, там тоже дипольный момент ориентируется вдоль поля и втягивается в область с большей напряжённостью. Теперь мы можем рассмотреть вопрос о магнитном поле в веществе.

Магнитное поле в веществе

Атомы могут обладать магнитными моментами. Магнитные моменты атомов связаны с моментом импульса электронов. Уже была получена формула

, где– момент импульса частицы создающей ток. В атоме мы имеем положительное ядро и электроне , вращающийся по орбите, на самом деле, в своё время мы увидим, что эта картина не имеет отношения к реальности, так нельзя представлять электрон, который вращается, но остаётся то, что электрон в атоме обладает моментом импульса, и этому моменту импульса будет отвечать такой магнитный момент:

. Наглядно, заряд, вращающийся по окружности, эквивалентен круговому току, то есть это элементарный виток с током. Момент импульса электрона в атоме квантуется, то есть может принимать только определённые значения, вот по такому рецепту:

,

, где вот эта величина– это постоянная Планка. Момент импульса электрона в атоме может принимать лишь определённые значения, мы сейчас не будем обсуждать, как это получается. Ну, и вследствие этого магнитный момент атома может принимать определённые значения. Эти детали нас сейчас не волнуют, но, по крайней мере, будем представлять, что атом может обладать определённым магнитным моментом, есть атомы, у которых нет магнитного момента. Тогда вещество, помещённое во внешнее поле намагничивается, а это означает, что оно приобретает определённый магнитный момент вследствие того, что магнитные моменты атомов ориентируются преимущественно вдоль поля.

Элемент объёма dV приобретает магнитный момент

, при чём векторимеет смысл плотности магнитного момента и называется вектором намагничивания. Имеется класс веществ, называемыхпарамагнетики , для которых

, намагничивается так, что магнитный момент совпадает с направлением магнитного поля. Имеютсядиамагнетики , которые намагничиваются, так сказать, «против шерсти», то есть магнитный момент антипараллелен вектору , значит,

. Это более тонкий термин. То, что векторпараллелен векторупонятно, магнитный момент атома ориентируется вдоль магнитного поля. Диамагнетизм связан с другим: если атом не обладает магнитным моментом, то во внешнем магнитном поле он приобретает магнитный момент, при чём магнитный момент антипараллелен. Этот очень тонкий эффект связан с тем, что магнитное поле влияет на плоскости орбит электронов, то есть оно влияет на поведение момента импульса. Парамагнетик втягивается в магнитное поле, диамагнетик выталкивается. Вот, чтобы это не было беспредметно, медь – это диамагнетик, и алюминий – парамагнетик, если взять магнит то алюминиевая лепёшка будет притягиваться магнитом, а тогда медная будет отталкиваться.

Понятно, что результирующее поле, когда вещество внесено в магнитное поле, это есть сумма внешнего поля и поля, создаваемого за счёт магнитного момента вещества. Теперь обратимся к уравнению

, или в дифференциальной форме

. Теперь такое утверждение: намагничивание вещества эквивалентно наведению в нём тока с плотностью

. Тогда это уравнение мы напишем в виде

.

Проверим размерность: М – это магнитный момент в единице объёма

, размерность

. Когда вы пишете какую-нибудь формулу, то размерность всегда полезно проверять, особенно если формула эта собственной выводки, то есть вы её не срисовали, не запомнили, а получили.

Намагниченность характеризуется вектором , он так и называется вектор намагниченности, это плотность магнитного момента или магнитный момент в единицу времени. Я говорил, что намагниченность эквивалентна появлению тока

, так называемого молекулярного тока, и это уравнение эквивалентно такому:

, то есть мы можем считать, что нет намагниченности, а есть такие токи. Зададимся таким уравнением:

,- это настоящие токи, связанные с конкретными носителями зарядов, аэто токи, связанные с намагниченностью. Электрон в атоме это круговой ток, возьмём область внутри, внутри образца все эти токи уничтожаются, но наличие таких круговых токов эквивалентно одному общему току, который обтекает этот проводник по поверхности, отсюда и такая формула. Перепишем это уравнение в таком виде:

,

. Этоттоже отправим влево и обозначим

, векторназываетсянапряжённостью магнитного поля , тогда уравнение приобретёт вид

. (циркуляция напряжённости магнитного поля по замкнутому контуру) = (сила тока через поверхность этого контура).

Ну, и, наконец, последнее. Мы имеем такую формулу:

. Для многих сред намагниченность зависит от напряжённости поля,

, гдемагнитная восприимчивость , это коэффициент, характеризующий склонность вещества к намагничиванию. Тогда эта формула перепишется в виде

,

магнитная проницаемость , и мы получаем такую формулу:

.

Если

, то это парамагнетики,

- это диамагнетики, ну, и, наконец, имеются вещества, для которых этопринимает большие значения (порядка 10 3),

- это ферромагнетики (железо, кобальт и никель). Ферромагнетики замечательны тем. Что они не только намагничиваются в магнитном поле, а им свойственно остаточное намагничивание, если он уже однажды был намагничен, то, если убрать внешнее поле, то он останется намагниченным в отличии от диа- и парамагнетиков. Постоянный магнит – это и есть ферромагнетик, который без внешнего поля намагничен сам по себе. Кстати, имеются аналоги этого дела в электричестве: имеются диэлектрики, которые поляризованы сами по себе без всякого внешнего поля. При наличии вещества наше фундаментальное уравнение приобретает такой вид:


,


,


.

Авот ещёпример ферромагнетика, бытовой пример магнитного поля в средах, во-первых, постоянный магнит, ну, и более тонкая вещь – магнитофонная лента. Каков принцип записи на ленту? Магнитофонная лента - это тонкая лента, покрытая слоем ферромагнетика, записывающая головка - это катушка с сердечником, по которой течёт переменный ток, в зазоре создаётся переменное магнитное поле, ток отслеживает звуковой сигнал, колебания с определённой частотой. Соответственно, в контуре магнита имеется переменное магнитное поле, которое меняется вместе с этим самым током. Ферромагнетик намагничивается переменным током. Когда эта лента протягивается по устройству такого типа, переменное магнитное поле создаёт переменную э.д.с. и воспроизводится опять электрический сигнал. Это ферромагнетики на бытовом уровне.

Вычислим напряженность в точке М, находящейся на расстоянии R от проводника. Направление вектора dН для любого элемента тока будет в т.М одинаковым. Следовательно, геометрическая сумма векторов dН превращается в алгебраическую и ее можно находить с помощью интегрирования.


, для интегрирования переменные r, l и α необходимо выразить через одну из них, например, α.


.

Подставим эти выражения:

. Переменная α изменяется от 0 до π.

. В системе СИ

и

. Размерность [Н] = А/м.

Напряженность магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным проводником с током прямо пропорциональна силе тока и обратно пропорциональна расстоянию от проводника. Линии напряженности представляют собой концентрические окружности. Они непрерывны, не имеют ни начала ни конца. Векторные поля, имеющие непрерывные линии вектора, называются вихревыми полями.

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля

Циркуляцией вектора А по замкнутому контуру называется интеграл вида

. Направление обхода по контуру должно быть задано.

В электростатическом поле

. В магнитном поле циркуляция вектора Н не равна 0.

Рассмотрим контур l произвольной формы, лежащий в плоскости, перпендикулярной к бесконечному линейному току. Ток направлен от нас. Направление обхода выберем по часовой стрелке.

Рассмотрим отрезок контура dl.

. Проведем два радиус-вектора, соединяющих ток с концами отрезка dl. Угол между ними будет dφ.,


,

. Следовательно


. Полученный результат будет верен и для любого не плоского пространственного контура. Циркуляция вектора напряженности не зависит от формы контура. Направление обхода по контуру и направление тока связаны правилом буравчика (правого винта). При обратном направлении обхода знак циркуляции изменится на противоположный.

Если магнитное поле создано системой токов, то

-циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром. Эта теорема о циркуляции называется законом полного тока . Каждый ток считается столько раз, сколько он охватывается этим контуром.

Магнитное поле соленоида

Соленоид представляет собой провод, навитый на цилиндрический каркас (катушка с проводом). По виткам проходит одинаковый ток. Магнитные поля, созданные каждым витком, складываются.

Напряженность поля внутри соленоида велика, а вне его мала и стремится к 0 для бесконечного соленоида. Если длина соленоида много больше диаметра его витков, то его можно считать практически бесконечным.

Возьмем контур 12341 и применим теорему о циркуляции:

N – число витков соленоида.

На участках 12 и 34 контур перпендикулярен к линиям напряженности, следовательно, Н l = 0, на участке 14 Н = 0, значит, вклад в циркуляцию дает только участок 23

,следовательно,

, n – число витков на единицу длины соленоида.

Поле внутри соленоида однородно. При приближении к концам соленоида линии вектора Н начинают расходиться и величина напряженности уменьшается. Такой краевой эффект отсутствует у тороида.

Все магнитное поле сосредоточено внутри тороида и линии вектора Н представляют собой замкнутые концентрические окружности. Напряженность поля рассчитывается по прежней формуле. Длину тороида следует считать по средней линии.

Взаимодействие параллельных токов

Зная магнитное поле, создаваемое проводником с током, можно вычислить силу, действующую на другой проводник с током.

Рассмотрим два параллельных бесконечных проводника с током. Проводник 1 создает в месте нахождения проводника 2 индукцию

. На элемент тока второго проводника будет действовать сила. На единицу длины второго проводника будет действовать сила

.

Точно такая же сила притяжения будет действовать со стороны второго проводника на первый. Если токи в проводниках противоположны, то проводники будут отталкиваться. На основании взаимодействия токов в системе СИ введена четвертая независимая единица – ампер.

Ампер – сила не изменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м друг от друга в вакууме, вызывал бы между этими проводниками силу 2·10 -7 Н на каждый метр длины.